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浅析数形结合思想在初中数学中的应用

时间:2020-01-10 来源:《学业》杂志 作者:admin 点击:

  摘要:教学的根本目的在于引导学生掌握相关的数学思想,以更加科学的眼光理解和认知世界,培养学生科学的数学认知,同时提高学生的学习能力、探索能力等能力。本文就数形结合在初中数学中的应用进行分析。

  关键词:数形结合思想 初中数学 应用

  著名数学家华罗庚说过:“形数本是两相依,数缺形时少直观,形少数时难入微,数形相助双翼飞。”这是对数形结合的完美解释,充分体现了数形结合的必要性。由于数形的密切关系,我们常把代数式的精确刻划和几何图形的直观描述结合起来,从而使代数问题几何化,几何问题代数化,像这种由数构形,由形思数相互转化的解决数学问题的方法叫数形结合法。

  数形结合思想是初中数学一种重要的数学思想方法,具有形象直观和易于接受的优势,在初中数学教学中具有广泛应用。它不仅能够促进学生将抽象思维形象化,引导学生形成数学模型,将实际问题巧妙转化成数学问题并有效解决。还能使学生解决问题的能力得到提升,而且能使学生的思路开阔,发展学生的创造性思维,从而提高学生的思维水平。

  一、以数助形达到数形结合

  初中数学课本中两直线之间的位置关系包括:平行、相交、重合。在初中数学中研究这种位置关系一般是通过几何作图来研究。如果通过代数的方法来研究这两条直线的位置关系会更加的对两直线的位置关系理解更为深刻。下面就用代数的方法以两直线的表达式为基础来以数助形来更深入的理解两直线的位置关系。

  例如:直线 : ,直线 : ,利用代数的方法研究直线 、 之间的位置关系。这个问题实质上就是二元一次方程组 的几何意义。关于二元一次方程组 的解有三种情况:①无解;②无数个解;③有且只有一个解。这三种情况可以转化为直线 : 与直线 : 的三种位置关系:①平行;②重合;③相交。方程组的解转化为两条直线的交点。第一种情况:当 , 时,两条直线的斜率相同,在 轴上的截距不同。此时两条直线平行,无交点,因而方程组无解。进一步来说当方程组 无解时,直线 、 平行。第二种情况:当 , 时,两条直线的斜率相同,在 轴上的截距也相同。此时两直线重合,有无数个公共点,因而方程组有无数个解。进一步来说当方程组 有无数个解时,直线 、 重合。第三种情况:当 时,两条直线的斜率不相同,两条直线相交,只有一个交点,因而方程组只有一个解。进一步来说当方程组 仅有一个解时,直线 、 相交。

  以数助形方式来达到几何问题代数化,不仅可以让学生直观的了解几何图形,而且通过逻辑严密的数学证明来更进一步的认识几何图形。从而达到认识事物的本质的目的。这样的方式使得学生不仅知其然更知其所以然。

  二、以形助数达到数形结合

  函数是初中数学教学中一个重点内容,同时也是一个涉及的知识面最广的内容,尤其是二次函数问题更是教学的重点内容。二次函数问题通常比较抽象,学生学习的过程中会有一定的困难,所以大多数学生不愿意接触与二次函数有关的问题,甚至对其有一种莫名的恐惧感。这样致使学生形成了一种不正确的数学解题观念,非常不利于学生数学能力的提高。由于二次函数本身的特性,它与图形之间具有紧密的联系,学生只需要建立直角坐标系,并对题目中函数的关键点进行定位即可做出有关的图形,从而更加直观、形象地分析问题,这样将大大地降低学生解题的难度。理论上来讲,在二次函数定义式子 中,参数a决定二次函数图形的开口方向,c决定二次函数图形与y轴的交点,而二次函数图形的对称性则由参数a和b所共同决定。因此,如果可以将数形结合思想合理地运用于数学教学中,则可以有效地提高学生解决二次函数问题的能力。

  例1:已知点 、 和 均在二次函数 的图像上,则 之间的大小关系为________。

  解析:该道例题是一个与二次函数有关的大小判断题,如果学生不懂得利用数形结合的思想,则必须要将每个点的 代入二次函数中,分别求出相应的 值,这样将大大增加工作量。而如果学生可以借助数形结合法来做出 的图形,则可以很快得出 之间的大小关系。下面就该道例题的具体解题步骤进行阐述。

  解:由二次函数式 ,我们可以得到顶点式 ,则可以画出其对应的简图,如图所示。

  通过图形我们可以很容易地知道,当 的时候, 值最小,由二次函数的对称性可知,当开口向上时,离对称轴距离越远的 的取值,则相应的 值也越大,当 距离对称轴为5,而 距离对称轴为2,显然 ,由此可以得到 ,所以 之间的大小关系为:

  例2:数形结合思想在一次函数中的应用:如右下图,直线: 过点A(0,2),且与直线 交于点P(1,m),则不等式 的解集是_________ 

  分析:这是一个解不等式的问题,如果直接去解不等式,是做不出的。因为将现有的已知点都代入解析式中,无法求出参数 的,所这个题必须借助图像,利用图像观察交点以及交点两侧的图像,来判断当 在什么范围时, 或者  ,而且解不等式 即求 ,通过观察一次函数的图像,结合p点横坐标,在交点p的右侧,即当 时,  。 所以 的解集是

  以形助数方式来达到代数问题几何化,把抽象的数学问题简单化,通过直观形象的几何图形,学生一目了然就可以找到问题的答案。数形结合的思想不仅可以优化解决问题的途径,而且可以使学生的思维变得灵活。

  三、结束语

  初中数学中,老师要把数形结合的思想作为一种解题的方法和技巧,还要作为一种重要的教学思想传授给学生。数形结合思想不仅能提升学生解决问题的能力,而且能使学生的思路开阔,提升学生的形象思维能力和逻辑思维能力,还能发展学生的创造性思维能力。

  参考文献:

  [1] 朱家宏. 初中数学教学中数形结合思想的应用[J].科技视界,2015,(11):175

  [2] 陈志. 刍议初中数学教学中数形结合思想的应用[J]. 考试周刊, 2017(67):49-50.

  [3] 温培珠. 初中数学教学中数形结合思想的应用探析[J]. 考试周刊, 2017(12):83-83.

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